Planos en espacio.
Considere un plano cualquiera en el espacio \(\mathbb{R}^3,\) el cual contiene los puntos \(P\left(x_1,y_1,z_1\right)\) y \(Q(x,y,z),\) donde además existe un vector \(\mathbf{\vec{n}}=\left< a,b,c\right>\) que es normal al plano. Semejante a como se hizo para deducir la ecuación de una recta, al considerar el plano como el conjunto de puntos tales que el vector \(\mathbf{\vec{PQ}}\) es ortogonal al vector \(\mathbf{\vec{n}}\), de la definición del producto escalar para vectores ortogonales \(\mathbf{\vec{n}}\cdot\mathbf{\vec{PQ}}=0\) se obtiene,
\(\vec{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{\vec{PQ}}=a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0\)
la cual conduce a la siguiente afirmación.
Forma canónica o estándar de la ecuación de un plano.
Sea \(\varphi\) un plano cualquiera en \(\mathbb{R}^3\) que contiene el punto \(P\left(x_1,y_1,z_1\right)\) donde \(\mathbf{\vec{n}}=\left< a,b,c\right>\) es un vector normal a \(\varphi,\) entonces la ecuación canónica del plano \(\varphi\) está dada por, $$~~~~~~~~~~~~~~~~~\varphi:a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0$$ Desarrollando términos y simplificando se obtiene la forma general para el plano, $$\varphi:ax+by+cz+d=0$$ Donde se ha de notar que si un vector \(\mathbf{\vec{n}}=\left< a,b,c\right>\) es normal al plano, también lo es el vector \(\mathbf{\vec{n}}_1=t\left< a,d,c\right>\) así que en aquellos casos en que es posible simplificar el vector normal antes de comenzar a realizar los cálculos, conviene hacerlo.
Forma paramétrica de un plano.
La ecuación de un plano puede considerarse como el conjunto de todos los puntos del espacio que cumple la condición \(P\left(s,t\right)=\mathbf{P}_0+s\mathbf{\vec{u}}+t\mathbf{\vec{v}}\) para \(\mathbf{P}_0\) el vector de posición de algún punto contenido en el plano y los vectores \(\mathbf{\vec{u}}\) y \(\mathbf{\vec{v}}\) son dos vectores cualquiera no paralelos del plano.
Ver Ejercicio I Ej4.
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Ángulos entre dos planos.
Dos planos cualquiera en \(\mathbb{R}^3\) de vectores normales \( \mathbf{n}_1\) y \(\mathbf{n}_2\) se intersecan formando una recta o son paralelos. La recta de intersección tiene por vector de dirección al vector \(\mathbf{v}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2\) que puede ser determinada al resolver el sistema formado por las ecuaciones de los planos de manera paramétrica o por determinación de vector de dirección \(\mathbf{\vec{v}}\) y un punto. El ángulo entre los planos es tal \(0\le\phi\le\pi/2\), este se obtiene al considerar el ángulo entre sus vectores normales \(\mathbf{n}_1\) y \(\mathbf{n}_2\) usando la definición alternativa del producto punto.
$$\cos{\phi}=\frac{|\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2|}{||\mathbf{n}_1||||\mathbf{n}_2||}\Longrightarrow \cos^{-1}{\left( \frac{|\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2|}{||\mathbf{n}_1||||\mathbf{n}_2||}\right)}$$
de lo anterior se concluye que dos planos de vectores normales \(\mathbf{n}_1\) y \(\mathbf{n}_2\) son,
1. Perpendiculares si \(\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2=0\)
2. Paralelos si \(\mathbf{n}_1=c\mathbf{n}_2\)
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Distancias punto-plano y plano-recta.
Comenzando por recordar la distancia d entre dos puntos P y Q en el espacio dada por,
$$d=\sqrt{\left(q_1-p_1\right)^2+\left(q_3-p_2\right)^2+\left(q_3-p_3\right)^2}$$
lo cual no es más que el módulo del vector \(\vec{PQ}\).
Ahora se intenta determinar la distancia ente un punto cualquiera a un plano. Sea d la longitud del segmento de recta perpendicular que une al punto \(Q\) con el plano \(\varphi\) como muestra la figura siguiente.
Considérese un punto \(P\) cualquiera en el plano, al proyectar un vector \(\mathbf{n}\) normal al plano en \(P\), entonces la distancia \(d\) del punto \(Q\) al plano tiene es igual al módulo del vector de proyección, por ser un rectángulo, y de esto se afirma que,
Distancia entre un punto y un plano.
Sea \(\varphi\) un plano cualquiera el cual no contiene al punto \(Q\), y sea \(P\) un punto del plano \(\varphi\), entonces la distancia del punto \(Q\) al plano es, $$D=||{\rm proy_n}\vec{PQ}||=\frac{\vec{PQ}\cdot \mathbf{n}} {||\mathbf{n}||}$$ donde \(\mathbf{n}\) es un vector normal al plano que pasa por \(P\).
Si se desconoce la ubicación del punto \(P\) en el plano, de la expresión general del plano \(ax+by+cz=0\) al hacer \(y=0\) al junto de \(z=0\) se obtiene \(ax+d=0\) por lo que es seguro que el punto \(P(-d/a,0,0)\) está en el plano.
Ver Ej 7 del apartado Ejercicios I antes de continuar.
Note lo que ha ocurrido en el ejemplo 7, al calcular la distancia del punto \(Q=\left(5,3,2\right)\) el cual puede ser escrito como \(Q=\left(x_0,y_0,z_0\right)\) fue necesario determinar el vector \(\ \vec{PQ}\) esto \(\vec{PQ}=x_0-x_1,y_0-y_1,z_0-z_1\) donde \(P=\left(x_1,y_1,z_1\right)\) lo cual produce la expresión, \begin{align} &D=||{\rm proy_n}\vec{PQ}||=\frac{\vec{PQ}\cdot \mathbf{n}} {||\mathbf{n}||}\\ &D=\frac{\left|a(x_0-x_1)+b(y_0-y_1)+c(z_0-z_1)\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\end{align} Al realizar los productos \(ax_0+ax_1+by_0+by_1+cz_0+cz_1=0\) es posible reescribir como \(ax_0+by_0+cz_0+d\) al hacer \(d=-\left(ax_1+by_1+cz_1\right)\) y de esto se concluye que la distancia \(D\) de un punto a un plano puede ser escrita como, $$D=\frac{\left|ax_0+by_0+cz_0+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$ donde \(ax_0+by_0+cz_0+d\) es la ecuación del plano dado, evaluada en el punto \(Q=\left(x_0,y_0,z_0\right)\) para el cual se desea terminar la distancia.
Si los planos son paralelos es posible dar solución a una situación de distancia al iniciar por identificar la condición de paralelismo, esto es \(\mathbf{n}_2=k\mathbf{n}_1\) donde \(k\) es una constante, escribiendo las ecuaciones normalizadas de los planos, en la forma, $$\varphi_1:ax+by+cz+d_1=0;~~~~\varphi_2:ax+by+cz+d_2=0$$ de donde la distancia está dada por la expresión, $$D=\frac{\left|d_1-d_2\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$ Ver Ej8 del apartado Ejercicio I
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Plano dado por un punto y su vector normal. Determinar la ecuación general del plano que contiene al punto \(P\left(2,\ 3,\ 5\right)\) y tiene por vector normal a \( \mathbf{\vec{n}}=\left< 4,6,8\right>.\)
Plano que contiene tres puntos. Determinar la ecuación general del plano que contiene los puntos \(P\left(1,\ 1,\ 1\right);~ Q\left(2,\ 0,\ 4\right)\) y \(R\left(-3,\ 2,-\ 5\right).\)
Determinar la ecuación del plano que contiene al punto \(P\left(-2,5,-7\right)\) y es paralelo al plano \(yz.\)
Forma paramétrica de un plano. Determinar una parametrización del plano que contiene los puntos \(\left(1,\ 1,\ 1\right); \left(2,\ 0,\ 4\right)\) y \(\left(-3,\ 2,-\ 5\right)\).
Determinar la recta de intersección y el ángulo entre los planos de ecuaciones, $$\left\{\begin{array}{l} \varphi_1:~2x+5y+3z=0~~~~\textcolor {#ff0080}{\fbox{$1$}}\\ \varphi_2:~x+y+2z=0~~~~~~~~\textcolor {#ff0080}{\fbox{$2$}}\end{array}\right.$$
Determine la recta de intersección de los planos dados por las ecuaciones $$\left\{\begin{array}{l} y+z=0\\ z-y=0 \end{array}\right.$$